The Archimedean Spiral series turned out to be the most intriguing among the experiments conducted and became the main artwork for this project. Initially, I was progressing with symbol placement in Adobe InDesign, but just as the flow of lines started becoming visible (especially beyond thirty thousand), a bug occurred. Disappointed, I happened to recall an instructional book on Processing that I was studying at the time. Upon reaching out to the author of the book, mathematician Tatsuki Hayama, I was fortunate enough to have him create a program for me. Subsequent experiments were carried out by adjusting the numerical values in Mr. Hayama’s program.

このアルキメデス螺旋シリーズが、今回実験した中で一番興味深く、本プロジェクトのメイン作品である。最初はAdobeのインデザインで記号の流し込みを進めていたが、線の流れが見えてきた矢先に（3万数千を超えたあたり）バグが出てしまった。がっかりしていたところ、その時たまたま勉強していたProccessingの教則本を思い出した。その本の著者であり、数学者の巴山竜来さんに連絡したところ、幸運にもプログラムを作成してもらえることになった。以降の実験は巴山氏に作成してもらったプログラムの数値を変えながら行った。

I set up a program to place encoded prime numbers and natural numbers on the Archimedean spiral (bottom-left diagram) and explored the emerging patterns by varying the spacing. The arrangement up to 3,000 is shown in the bottom-right diagram, where, in certain parts, the alignment of points becomes reminiscent of lines.

アルキメデス螺旋上に、記号化した素数と自然数を配置するプログラムを設定し（下左図）、 間隔を変えながら見えてくる表情を探った。 3,000まで配置したものが下右図である。部分的に、点の並びが線のように見えてくる。

The poster involves creating a spiral from 1 to 250,000, duplicating it, and then rotating it 180 degrees with 1 as the starting point, resulting in a dual spiral (blow diagram). By setting the numerical value of the spacing between points to 3, it forms a collection of points resembling a chaotic mist (No.1). Changing it to 4.9 creates a pattern reminiscent of a honeycomb (No.2). Setting it to 4.925 reveals a peculiar space that seems to construct multiple dimensions depending on the viewing angle (No.3). Upon further exploration, inputting the value 4.9348 produces straight lines extending outward in all directions, creating a sense of depth (No.4). Despite arranging the points in a spiral, distinct lines appear vertically and horizontally. Experimentation up to a million confirmed that this characteristic persists.

作品ポスターは1〜250,000までの螺旋を作成し、コピーした上で1を起点として180°回転し、二重螺旋にした（下図）。 点同士の間隔の数値を3にした場合は、無秩序な靄のような点の集合となり（No.1）、 それを4.9にするとスズメ蜂の巣のようなパターンに変化する（No.2）。 4.925にすると、見る場所によっては多次元を構成するような不思議な空間が見えてくる（No.3）。 さらに探っていき、4.9348という数値を入力してみたところ、天地左右に外に向かっていく直線が現れた（No.4）。 螺旋状に配置しているだけなのに、垂直、水平に向かっていく線がはっきりと現れる。 試しに100万まで書き出しても、この特徴は続いていくことがわかった。

However, it closely resembles the “Sacks Spiral” discovered by mathematician Robert Sacks in 1994. Upon investigation, I found that Sacks’ Spiral arranges perfect squares linearly with each revolution, whereas the pattern I generated has perfect squares arranged linearly to the left and right every half revolution. Since I rotated it to create a dual spiral, the arrangement of perfect squares coincidentally aligns with Sacks Spiral.

Points of distinction include the starting point being 1 instead of 0, the dual spiral structure using the same number twice, and the arrangement of perfect squares existing on both sides rather than just one. Furthermore, the direction of the sequence flow is different, as shown in the diagram below.

しかし、1994年に数学者のロバート・サックス氏が発見した「サックスの螺旋」によく似ている。 調べてみると、サックスの螺旋は周回ごとに直線状に完全平方数が配置されるが、 今回私が書き出したパターンは完全平方数が半周ごとに左右に直線状に配置されていることがわかった。 それを回転して二重螺旋にしているので、完全平方数の配置自体はサックスの螺旋と偶然にも一致したことになる。 異なる点としては、始点が0でなく1であることと、二重螺旋構造なので同じ数字を2回使っていること、 また、完全平方数の配置が片方ではなく左右に存在すること、さらに 数字の並び方は共通するが下図のように数列の流れる方向が異なることである。

Additionally, No.5 is a reversed version of the color tones used in No.4. Furthermore, No.6 represents the variation in color for prime number points based on their last digit: for instance, intensity is 0% for digits ending in 1, 30% for those ending in 3, 50% for 7, and 70% for 9. No.7 is the inverted color scheme of No.6. Even with changes in intensity, the distinctive features of the pattern remain. Moreover, it adds a delicate expression and a sense of depth, creating an interesting effect that appears to emphasize the lines.

なお、そのNo.4の色調を反転したものがNo.5である。 さらに、素数の点の色を、下一桁の数字によって変化させたものがNo.6である。 これは下一桁が1の場合は濃度0％、3の場合は30％、7の場合は50％、9の場合は70%というように 色調を変化させていて、No.7はNo.6の色調を反転させたものである。 濃度変化をさせてもパターンの特徴は残る。さらに、より繊細な表情や奥行きを感じるとともに、 線を強調しているようにも見えるところが興味深い。